妻が浮気をし，家を出て行ってしまいました。その後，別居中の生活費（婚姻費用）を支払えと調停を申し立ててきました。この様な妻にお金を支払いたくありませんが，支払わなければならないのでしょうか？

婚姻費用とは，婚姻家庭がその資産・収入・社会的地位等に応じた通常の社会生活を維持するために必要な費用であり，夫婦で分担するものとされています（民法７６０条）
そして，権利者に，別居や婚姻関係破綻の原因がある場合は，義務者の分担義務の内，権利者の生活費相当部分は減免されことがあります。ただし，権利者がお子さんと同居しているような場合は，そのお子さんの養育費相当部分については減免されません。
ですから，今回の様に，権利者である奥さんに別居の原因がある場合は，奥さんの生活費相当分の支払いを行わなくても良い可能性があるといえます。